单元形成性评价(二)(第二章) (120分钟 150分) 一、选择题(每小题5分，共60分) 1．函数y＝·ln (2－x)的定义域为( ) A．(1，2) B．[1，2) C．(1，2] D．[1，2] 【解析】选B.要使解析式有意义，则 解得1≤x<2，所以所求函数的定义域为[1，2). 2．如图所示，二次函数y＝ax2＋bx与指数函数y＝的图象可能为( ) 【解析】选C.根据指数函数y＝可知，a，b同号且不相等，则二次函数y＝ax2＋bx的对称轴－＜0，可排除B与D，又因为二次函数y＝ax2＋bx过坐标原点，所以C正确． 3．函数y＝3的值域是( ) A．[2，＋∞) B．(2，＋∞) C．(0，1] D．[1，＋∞) 【解析】选D.由于≥0，所以函数y＝3≥30＝1，故函数的值域为[1，＋∞). 4．设偶函数f(x)满足f(x)＝2x－4(x≥0)，则{x|f(x－2)>0}＝( ) A．{x|x<－2或x>4} B．{x|x<0或x>4} C．{x|x<0或x>6} D．{x|x<－2或x>2} 【解析】选B.因为f(x)为偶函数， 当x<0时，f(x)＝f(－x)＝2－x－4. 所以f(x)＝若f(x－2)>0， 则有或解得x>4或x<0. 5．下列四个数中最小的是( ) A．log2 B．－0.30.7 C．log3 D．－1 【解析】选C.log3＝－log23＜－1， －1＜－0.30.7＜0，log2＝－log32∈(－1，0)， 所以四个数中，最小的是log3. 6．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y＝eln x的定义域和值域相同的是( ) A．y＝x B．y＝lg x C．y＝2x D．y＝ 【解析】选D.函数y＝eln x的定义域和值域均为(0，＋∞)，函数y＝x的定义域和值域均为R，不满足要求；
函数y＝lg x的定义域为(0，＋∞)，值域为R，不满足要求；
函数y＝2x的定义域为R，值域为(0，＋∞)，不满足要求；
函数y＝的定义域和值域均为(0，＋∞)，满足要求． 7．三个数50.6，0.65，log0.65的大小顺序正确的是( ) A．0.65＜log0.65＜50.6 B．0.65＜50.6＜log0.65 C．log0.65＜50.6＜0.65 D．log0.65＜0.65＜50.6 【解析】选D.由指数函数与对数函数的图象与性质可知50.6＞1，0＜0.65＜1，log0.65＜0，所以log0.65＜0.65＜50.6. 8．已知log32＝a，3b＝5，则log3用a，b表示为( ) A．(a＋b＋1) B．(a＋b)＋1 C．(a＋b＋1) D．a＋b＋1 【解析】选A.因为3b＝5，所以b＝log35，log3＝log330＝(log33＋log32＋log35)＝(1＋a＋b). 9．已知函数y＝loga(x＋c)(a，c为常数，其中a＞0，a≠1)的图象如图所示，则下列结论成立的是( ) A. a＞1，c＞1 B. a＞1，0＜c＜1 C．0＜a＜1，c＞1 D．0＜a＜1，0＜c＜1 【解析】选D.因为函数单调递减，所以0＜a＜1， 当x＝1时，loga(x＋c)＝loga(1＋c)＜0， 即1＋c＞1，即c＞0，当x＝0时，loga(x＋c)＝logac＞0，即c＜1，即0＜c＜1. 10．已知函数f(x)＝2logx的值域为[－1，1]，则函数f(x)的定义域是( ) A．
B．[－1，1] C．
D．∪[，＋∞) 【解析】选A.因为已知函数f(x)＝2logx的值域为[－1，1]，所以－1≤2logx≤1， 即log≤2logx≤log， 化简可得 ≤x2≤2.再由x＞0 可得≤x≤， 故函数f(x)的定义域为. 11．如果一个点是一个指数函数与一个对数函数的图象的公共点，那么称这个点为“好点”．在下面的五个点M(1，1)，N(1，2)，P(2，1)，Q(2，2)，G中，可以是“好点”的有( ) A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【解析】选C.设指数函数为y＝ax(a>0，a≠1)， 显然不过点M，P，若设对数函数为y＝logbx(b>0，b≠1)，显然不过N点，所以“好点”有2个． 12．某种放射性元素的原子数N随时间t的变化规律是N＝N0e－λt，其中N0，λ是正的常数，则当N＝时，t＝( ) A．λln 3 B．λln C．ln D．ln 3 【解析】选D.N＝N0e－λt，所以＝e－λt， 所以－λt＝ln ，所以t＝－ln ， 当N＝时，t＝ln 3. 二、填空题(每小题5分，共20分) 13．(2·)(－6·)÷(－3·)＝______． 【解析】(2·)(－6·)÷(－3·) ＝÷ ＝＝4a1·b0＝4a. 答案：4a 14．设f(x)＝则f(f(2))＝________． 【解析】因为f(2)＝log3(22－1)＝1， 所以f(f(2))＝f(1)＝2e1－1＝2. 答案：2 15．若f(x)为R上的奇函数，当x<0时，f(x)＝log2(2－x)，则f(0)＋f(2)＝________． 【解析】f(x)为R上的奇函数，则f(0)＝0， f(2)＝－f(－2)，所以f(－2)＝log2(2＋2)＝2，所以f(2)＝－2，所以f(0)＋f(2)＝0－2＝－2. 答案：－2 16．设平行于y轴的直线分别与函数y1＝log2x及函数y2＝log2x＋2的图象交于B，C两点，点A(m，n)位于函数y2＝log2x＋2的图象上，如图，若△ABC为正三角形，则m·2n＝________． 【解析】由题意知，n＝log2m＋2，所以m＝2n－2.又BC＝y2－y1＝2，且△ABC为正三角形，所以可知B(m＋，n－1)在y1＝log2x的图象上，所以n－1＝log2(m＋)，即m＝2n－1－，所以2n＝4，所以m＝，所以m·2n＝×4＝12. 答案：12 三、解答题(共70分) 17．(10分)已知x∈[－3，2]，求f(x)＝－＋1的最小值与最大值． 【解析】f(x)＝－＋1＝4－x－2－x＋1＝2－2x－2－x＋1＝＋， 因为x∈[－3，2]，所以≤2－x≤8，则当2－x＝，即x＝1时，f(x)有最小值，当2－x＝8即x＝－3时，f(x)有最大值57. 18．(12分)(1)已知log2(16－2x)＝x，求x的值． (2)计算：＋810.75－×8＋log57·log725. 【解析】(1)因为log2(16－2x)＝x， 所以2x＝16－2x，化简得2x＝8，所以x＝3. (2)原式＝1＋(34)－3×(23)＋· ＝1＋27－12＋2＝18. 19．(12分)已知指数函数f(x)的图象经过点P(3，8)，且函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称． (1)求函数g(x)的解析式． (2)若g(2x2－3x＋1)＞g(x2＋2x－5)，求x的取值范围． 【解析】(1)设指数函数为：f(x)＝ax， 因为指数函数f(x)的图象过点(3，8)， 所以8＝a3，所以a＝2， 所求指数函数为f(x)＝2x；
因为函数g(x)的图象与f(x)的图象关于y轴对称，所以g(x)＝2－x. (2)由(1)得g(x)为减函数， 因为g(2x2－3x＋1)＞g(x2＋2x－5)， 所以2x2－3x＋1＜x2＋2x－5，解得x∈(2，3)， 所以x的取值范围为(2，3). 20．(12分)若点(，2)在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上． (1)求f(x)和g(x)的解析式． (2)定义h(x)＝求函数h(x)的最大值及单调区间． 【解析】(1)设f(x)＝xα，因为点(，2)在幂函数f(x)的图象上，所以()α＝2，解得α＝2，即f(x)＝x2. 设g(x)＝xβ，因为点在幂函数g(x)的图象上，所以2β＝，解得β＝－1，即g(x)＝x－1. (2)在同一平面直角坐标系中画出函数f(x)＝x2和g(x)＝x－1的图象，可得函数h(x)的图象如图所示． 由题意及图象可知h(x)＝根据函数h(x)的解析式及图象可知，函数h(x)的最大值为1，单调递增区间为(0，1]，单调递减区间为(－∞，0)和(1，＋∞). 21．(12分)已知函数f(x)＝loga(1＋x)，g(x)＝loga(3－x)(a>0，a≠1). (1)当a>1时，若h(x)＝f(x)＋g(x)的最大值为2，求a的值． (2)求使f(x)－g(x)>0的x的取值范围． 【解析】(1)因为所以－1<x<3，因为h(x)＝f(x)＋g(x)＝loga[(1＋x)(3－x)]，所以当x＝1时，(1＋x)(3－x)取最大值4.因为a>1，所以当x＝1时，h(x)取最大值loga4，因此loga4＝2，a＝2. (2)因为f(x)－g(x)>0，所以loga(1＋x)>loga(3－x)，当a>1时，1＋x>3－x>0，1<x<3；
当0<a<1时，0<1＋x<3－x，－1<x<1；
因此当0<a<1时，解集为(－1，1)；
当a>1时，解集为(1，3). 22．(12分)已知定义域为R的单调函数f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝－2x. (1)求f(x)的解析式；
(2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求实数k的取值范围． 【解析】(1)因为定义域为R的函数f(x)是奇函数， 所以f(0)＝0.当x<0时，－x>0，所以f(－x)＝－2－x. 又因为函数f(x)是奇函数， 所以f(－x)＝－f(x)， 所以f(x)＝＋2－x. 综上所述，f(x)＝ (2)因为f(－1)＝>f(0)＝0，且f(x)为R上的单调函数， 所以函数f(x)在R上单调递减． 由f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0得 f(t2－2t)<－f(2t2－k). 因为函数f(x)是奇函数，所以f(t2－2t)<f(k－2t2). 又因为函数f(x)是减函数，所以t2－2t>k－2t2. 即3t2－2t－k>0对任意t∈R恒成立， 所以Δ＝4＋12k<0，解得k<－. 故实数k的取值范围是.